Question

如图，OA，OB是⊙O的两条半径，OA⊥OB，C是半径OB上一动点，连结AC并延长交⊙O于D，过点D作圆的切线交OB的延长线于E，已知OA＝8．

（1）求证：∠ECD＝∠EDC；

（2）若tanA＝，求DE长；

（3）当∠A从15°增大到30°的过程中，求弦AD在圆内扫过的面积．

Answer

（1）证明见解析；

（2）DE的长为15；

（3）弦AD在圆内扫过的面积为

【解析】

试题(1)连结OD，已知DE是⊙O的切线，根据切线的性质可得∠EDC＋∠ODA＝90°，已知 OA⊥OB，可得∠ACO＋∠A＝90°，因OA＝OD，根据等腰三角形的性质可得∠ODA＝∠A，即可得∠EDC＝∠ACO，因∠ECD＝∠ACO，即可得∠ECD＝∠EDC．（2）因为tanA＝，即可得，求得OC＝2， 设DE＝x，可得CE＝x，所以OE＝2＋x，在Rt△ODE中，根据勾股定理可得OD2＋DE2＝OE2， 即可得82＋x 2＝（2＋x）2，解得x＝15，所以DE＝CE＝15． （3）过点D作AO的垂线，交AO的延长于F，当时，，DF＝4，求得的面积，当时，，DF＝4，求得，即可求得弦AD在圆内扫过的面积．

试题解析：

（1）证明：连结OD，

∵DE是⊙O的切线，∴∠EDC＋∠ODA＝900，

又∵OA⊥OB，∴∠ACO＋∠A＝900，

∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠A，∴∠EDC＝∠ACO，

又∵∠ECD＝∠ACO，∴∠ECD＝∠EDC．

（2）【解析】
∵tanA＝，∴，∴OC＝2，

设DE＝x，∵∠ECD＝∠EDC，∴CE＝x，∴OE＝2＋x．

∴∠ODE＝900，∴OD2＋DE2＝OE2，

∴82＋x 2＝（2＋x）2，x＝15，∴DE＝CE＝15．

（3）【解析】
过点D作AO的垂线，交AO的延长于F，

当时，，DF＝4，

当时，，DF＝4，

，