Question

如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，D在AB的延长线上，且∠BCD＝∠A.

(1)求证：CD是⊙O的切线；

(2)若⊙O的半径为3，CD＝4，求BD的长．

Answer

（1）证明见解析（2）2

【解析】试题（1）连接OC，由AB是⊙O的直径可得出∠ACB=90°，即∠ACO+∠OCB=90°，由等腰三角形的性质结合∠BCD=∠A，即可得出∠OCD=90°，即CD是⊙O的切线；

（2）在Rt△OCD中，由勾股定理可求出OD的值，进而可得出BD的长．

试题解析：（1）如图，连接OC．

∵AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，

∴∠ACB=90°，即∠ACO+∠OCB=90°．

∵OA=OC，∠BCD=∠A，

∴∠ACO=∠A=∠BCD，

∴∠BCD+∠OCB=90°，即∠OCD=90°，

∴CD是⊙O的切线．

（2）在Rt△OCD中，∠OCD=90°，OC=3，CD=4，

∴OD==5，

∴BD=OD﹣OB=5﹣3=2．