Question

如图，在平面直角坐标系中，圆M经过原点O，且与x轴、y轴分别相交于A（-8，0），B（0，-6）两点．

（1）求出直线AB的函数解析式；

（2）若有一抛物线的对称轴平行于y轴且经过点M，顶点C在圆M上，开口向下，且经过点B，求此抛物线的函数解析式；

（3）设（2）中的抛物线交x轴于D、E两点，在抛物线上是否存在点P，使得S_△PDE=S_△ABC？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）解析式为y=﹣x﹣6；（2）详见解析（3）详见解析．

【解析】

试题（1）利用待定系数法可求出直线AB的解析式；

（2）先利用勾股定理计算出AB=10，再根据圆周角定理得到AB为⊙M的直径，则点M为AB的中点，M（﹣4，﹣3），则可确定C（﹣4，2），然后利用顶点式求出抛物线解析式；

（3）通过解方程﹣（x+4）2+2=0得到D（﹣6，0），E（﹣2，0），利用S△ABC=S△ACM+S△BCM，可求出S△ABC=10，设P（t，﹣t2﹣4t﹣6），所以（﹣2+6）|﹣t2﹣4t﹣6|=20，然后解绝对值方程求出t即可得到P点坐标．

【试题解析】（1）设直线AB的函数解析式为y=kx+b，把A（﹣8，0），B（0，﹣6）代入得，解得，所以直线AB的解析式为y=﹣x﹣6；

（2）在Rt△AOB中，AB==10，∵∠AOB=90°，∴AB为⊙M的直径，

∴点M为AB的中点，M（﹣4，﹣3），∵MC∥y轴，MC=5，∴C（﹣4，2），

设抛物线的解析式为y=a（x+4）2+2，

把B（0，﹣6）代入得16a+2=﹣6，解得a=﹣，

∴抛物线的解析式为y=﹣（x+4）2+2，即y=﹣x2﹣4x﹣6；

（3）存在．

当y=0时，﹣（x+4）2+2=0，解得x1=﹣2，x2=﹣4，

∴D（﹣6，0），E（﹣2，0），

S△ABC=S△ACM+S△BCM=8CM=20，

设P（t，﹣t2﹣4t﹣6），

∵S△PDE=S△ABC，

∴（﹣2+6）|﹣t2﹣4t﹣6|=20，

即|﹣t2﹣4t﹣6|=1，当﹣t2﹣4t﹣6=1，解得t1=﹣4+，t2=﹣4﹣，此时P点坐标为（﹣4+，1）或（﹣4﹣，0）；当﹣t2﹣4t﹣6=﹣1，解得t1=﹣4+，t2=﹣4﹣；此时P点坐标为（﹣4+，﹣1）或（﹣4﹣，0）．

综上所述，P点坐标为（﹣4+，1）或（﹣4﹣，0）或（﹣4+，﹣1）或（﹣4﹣，0）时，使得S△PDE=S△ABC．