Question

如图，在直角坐标系中，抛物线y=a（x-）²+与⊙M交于A，B，C，D四点，点A，B在x轴上，点C坐标为（0，-2）．

（1）求a值及A，B两点坐标；

（2）点P（m，n）是抛物线上的动点，当∠CPD为锐角时，请求出m的取值范围；

（3）点E是抛物线的顶点，⊙M沿CD所在直线平移，点C，D的对应点分别为点C′，D′，顺次连接A，C′，D′，E四点，四边形AC′D′E（只要考虑凸四边形）的周长是否存在最小值？若存在，请求出此时圆心M′的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）A（1，0），B（4，0）．（2）m＜0或1＜m＜4或m＞5．（3）存在．M′（，-2）

【解析】

(1)把点C坐标代入抛物线解析式即可求出a,令y=0可得抛物线与x轴的交点坐标.

(2)根据题意可知,当点P在圆外部的抛物线上运动时,∠CPD为锐角,由此即可解决问题.

(3)存在.如图2中,将线段C'A平移至D'F,当点D'与点H重合时,四边形AC'D'E的周长最小,求出点H坐标即可解决问题.

【解析】
（1）∵抛物线y=a（x-）2+经过点C（0，-2），

∴-2=a（0-）2+，

∴a=-，

∴y=-（x-）2+，

当y=0时，-（x-）2+=0，

∴x1=4，x2=1，

∵A、B在x轴上，

∴A（1，0），B（4，0）．

（2）由（1）可知抛物线解析式为y=-（x-）2+，

∴C、D关于对称轴x=对称，

∵C（0，-2），

∴D（5，-2），

如图1中，连接AD、AC、CD，则CD=5，

∵A（1，0），C（0，-2），D（5，-2），

∴AC=，AD=2，

∴AC2+AD2=CD2，

∴∠CAD=90°，

∴CD为⊙M的直径，

∴当点P在圆外部的抛物线上运动时，∠CPD为锐角，

∴m＜0或1＜m＜4或m＞5．

（3）存在．如图2中，将线段C′A平移至D′F，则AF=C′D′=CD=5，

∵A（1，0），

∴F（6，0），

作点E关于直线CD的对称点E′，

连接EE′正好经过点M，交x轴于点N，

∵抛物线顶点（，），直线CD为y=-2，

∴E′（，-），

连接E′F交直线CD于H，

∵AE，C′D′是定值，

∴AC′+ED′最小时，四边形AC′D′E的周长最小，

∵AC′+D′E=FD′+D′E=FD′+E′D′≥E′F，

则当点D′与点H重合时，四边形AC′D′E的周长最小，

设直线E′F的解析式为y=kx+b，

∵E′（，-），F（6，0），

∴可得y=x-，

当y=-2时，x=，

∴H（，-2），∵M（，-2），

∴DD′=5-=，

∵-=，

∴M′（，-2）