Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=x+m (m为常数)的图像与x轴交于点A(－3,0)，与y轴交于点C．以直线x=1为对称轴的抛物线y=ax²+bx+c(a，b，c为常数，且a≠0)经过A、C两点，并与x轴的正半轴交于点B．

(1)求m的值及抛物线的函数表达式；

(2)若P是抛物线对称轴上一动点，△ACP周长最小时，求出P的坐标；

(3)是否存在抛物在线一动点Q，使得△ACQ是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出点Q的横坐标；若不存在，请说明理由；

(4)在(2)的条件下过点P任意作一条与y轴不平行的直线交抛物线于M₁(x₁,y₁)，M₂(x₂,y₂)两点，试问是否为定值，如果是，请直接写出结果，如果不是请说明理由．

Answer

（1），y=−x2+x+；（2）（1，3）；(3)存在，5.2 ，7.2；（4）是.

【解析】

试题（1）首先求得m的值和直线的解析式，根据抛物线对称性得到B点坐标，根据A、B点坐标利用交点式求得抛物线的解析式；

（2）确定何时△ACP的周长最小．利用轴对称的性质和两点之间线段最短的原理解决；确定P点坐标P（1，3），从而直线M1M2的解析式可以表示为y=kx+3-k；

（3）存在， 设Q(x,－x2+x+)①若C为直角顶点, 则由△ACO相似于△CQE，得x=5.2，②若A为直角顶点，则由△ACO相似于△AQE，得x=8.2从而求出Q点坐标.

（4）利用两点间的距离公式，分别求得线段M1M2、M1P和M2P的长度，相互比较即可得到结论：为定值．

试题解析：（1）∵y=x+m经过点（-3，0），

∴0=−+m，解得m=，

∴直线解析式为y=x+，C（0，）．

∵抛物线y=ax2+bx+c对称轴为x=1，且与x轴交于A（-3，0），∴另一交点为B（5，0），

设抛物线解析式为y=a（x+3）（x-5），

∵抛物线经过C（0，），

∴=a•3（-5），解得a=−，

∴抛物线解析式为y=−x2+x+；

（2）要使△ACP的周长最小，只需AP+CP最小即可．如图2，

连接BC交x=1于P点，因为点A、B关于x=1对称，根据轴对称性质以及两点之间线段最短，可知此时AP+CP最小（AP+CP最小值为线段BC的长度）．

∵B（5，0），C（0，），

∴直线BC解析式为y=−x+，

∵xP=1，∴yP=3，即P（1，3）．

(3) （3）存在 设Q(x, −x2+x+)

①若C为直角顶点, 则由△ACO相似于△CQE，得x=5.2

②若A为直角顶点，则由△ACO相似于△AQE，得x=8.2

∴Q的横坐标为5.2 ，7.2

(4)令经过点P（1，3）的直线为y=kx+b，则k+b=3，即b=3-k，

则直线的解析式是：y=kx+3-k，

∵y=kx+3-k，y=−x2+x+，

联立化简得：x2+（4k-2）x-4k-3=0，

∴x1+x2=2-4k，x1x2=-4k-3．

∵y1=kx1+3-k，y2=kx2+3-k，∴y1-y2=k（x1-x2）．

根据两点间距离公式得到：

∴=4（1+k2）．

又

；

同理

∴

=4（1+k2）．

∴M1P•M2P=M1M2，

∴为定值．

考点: 二次函数综合题．