Question

如图，在中，是直径，点是上一点，点是的中点，弦于点，连接，交于点，连接，．

(1)求的度数；

(2)若，求长度（结果保留）．

Answer

（1）30°；（2）

【解析】

试题

（1）如图，

连接BD，由点C是的中点，易得∠ABC=∠ABD，而BD是圆的直径可得△ABD是直角三角形，再由∠A=30°就可求得∠ABD，从而求得∠ABC；

（2）连接OC，由（1）中结论易得∠AOC=60°，所以我们只需在Rt△OFC中，利用垂径定理求得CF，再利用“直角三角形中30°的角所对直角边等于斜边的一半”和“勾股定理”可求得OC，最后用“弧长公式”求的长；

试题解析：

(1)连接BD，∵AB为⊙O的直径，

∴∠ADB＝90°，

∵∠DAB＝30°，

∴∠ABD＝90°－30°＝60°，

∵C是的中点，

∴∠ABC＝∠DBC＝∠ABD＝30°；

(2)连接OC，则∠AOC＝2∠ABC＝60°，

∵CM⊥直径AB于点F，

∴CF＝CM＝，∠CFO=90°，

∴在Rt△COF中，∠OCF=30°，

∴OC=2OF，OF2+CF2=OC2，即，

解得：OF=4，∴OC=8，

∴的长度为.