Question

如图，一个正比例函数y₁=k₁x的图象与一个一次函数y₂=k₂x+b的图象相交于点A（3，4），且一次函数y₂的图像与y轴相交于点B（0，—5），与x轴交于点C．

（1）判断△AOB的形状并说明理由；

（2）请写出当y₁>y₂时x的取值范围；

（3）若将直线AB绕点A旋转，使△AOC的面积为8，求旋转后直线AB的函数解析式；

（4）在x轴上求一点P使△POA为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点P的坐标．

Answer

（1）△AOB是等腰三角形，证明详见解析；（2）x＜3；（3）y=-4x+16或y=；（4） P（5,0）或（-5,0）或（6,0）或（）.

【解析】

（1）根据A的坐标求得OA和OB的长度即可判断；

（2）根据图象当y1＞y2时即y1的函数值大，即对相同的x的值，y1对应的图象的点在上边，根据图象即可写出；

（3）首先根据三角形的面积公式求得OC的长，即可得到C的坐标，利用待定系数法即可求解；

（4）已知等腰三角形POA中的一边OA，分1）OA是底边；2）OA是腰，且A是顶角的顶点；3）OA是腰，且O是顶角的顶点．三种情况进行讨论．

【解析】
（1）OA==5，则OA=OB，

∴△AOB是等腰三角形；

（2）根据图象可以得到：当y1＞y2时x＜3；

（3）设OC=x，则x×4=8，解得：x=4，

则C的坐标是：（-4，0）或（4，0）．

设直线AB的解析式是：y=kx+b，当C的坐标是：（-4，0）时，根据题意得：

，

解得：，

则直线的解析式是：y=x+；

当C的坐标是（4，0）时，根据题意得：

，

解得：，

则直线的解析式是：y=-4x+16；

（4）把（3，4）代入y1=k1x得到：3k1=4，

解得：k1=，

当OA是底边时，OA的中点是（，2），设过OA的中点且与OA垂直的直线的解析式是：y=-x+b，

根据题意得：b=，

直线的解析式是：y=-x+，

当y=0时，x=，

则P的坐标是（，0）；

当OA是腰，O是顶角的顶点时，OP=OA=5，则P的坐标是（5，0）或（-5，0）；
当OA是腰，A是顶角的顶点时，AP=AO，则P与O关于x=3对称，则P的坐标是（6，0）．
则P的坐标是：（，0）或（5，0）或（-5，0）或（6，0）．