Question

如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D，F分别是AC，AB的中点，CE∥DB，BE∥DC．

（1）求证：四边形DBEC是菱形；

（2）若AD=3，DF=1，求四边形DBEC面积．

Answer

(1)见解析;(2)4

【解析】（1）根据平行四边形的判定定理首先推知四边形DBEC为平行四边形，然后由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到其邻边相等：CD=BD，得证；

（2）由三角形中位线定理和勾股定理求得AB边的长度，然后根据菱形的性质和三角形的面积公式进行解答．

（1）证明：∵CE∥DB，BE∥DC，

∴四边形DBEC为平行四边形．

又∵Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D是AC的中点，

∴CD=BD=AC，

∴平行四边形DBEC是菱形；

（2）∵点D，F分别是AC，AB的中点，AD=3，DF=1，

∴DF是△ABC的中位线，AC=2AD=6，S△BCD=S△ABC

∴BC=2DF=2．

又∵∠ABC=90°，

∴AB===4．

∵平行四边形DBEC是菱形，

∴S四边形DBEC=2S△BCD=S△ABC=AB•BC=×4×2=4．