Question

如图，在△ABC中，AB=AC=10，点D是边BC上一动点 （不与B，C重合），∠ADE=∠B=α，DE交AC于点E，且 ．下列结论：  ①△ADE∽△ACD； ②当BD=6时，△ABD与△DCE全等；③△DCE为直角三角形时，BD为8或； ④CD²=CE•CA． 其中正确的结论是________ （把你认为正确结论的序号都填上）

Answer

①②③

【解析】

由AB=AC可知∠B=∠C，再由∠ADE=∠B可判断①；由三角形外角和定理可得∠ADB=∠DAC+∠C，∠DEC=∠DAC+∠ADE，而∠B=∠C=∠ADE=∠α，再由AB=AC且可求解出BC=16,则CD=16-6=10=AB，据此可判断②；由上问可知∠ADB=∠DEC，分∠DEC=90°和∠EDC=90°这两种情况进行求解即可判断③；若CD2=CE•CA，则，再由∠C是公共角，可得△ADE∽△ACD，而根据题干条件并不能得到该相似结论，据此可判断④.

【解析】
由AB=AC可知∠B=∠C，再由∠ADE=∠B可知△ADE∽△ACD，故①正确；由三角形外角和定理可得∠ADB=∠DAC+∠C，∠DEC=∠DAC+∠ADE，而∠B=∠C=∠ADE，故∠ADB=∠DEC.由AB=AC=10且，可求解BC=16，则CD=16-6=10=AB.综合上述，由∠B=∠C、∠ADB=∠DEC、CD=AB可证明△ABD≌△DCE；由上问可知∠ADB=∠DEC，当∠DEC=90°时，∠ADB=90°，则D点为BC中点，BD=8.当∠EDC=90°时，则∠BAD=90°，则BD=，故③正确；若CD2=CE•CA，则，再由∠C是公共角，可得△ADE∽△ACD，而根据题干条件并不能得到该相似结论，故④错误；

故答案为：①②③.