Question

如图，PA，PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，交PA，PB于C，D．若⊙O的半径为r，△PCD的周长等于3r，则tan∠APB的值是__________．

Answer

【解析】

试题连接OA、OB、OP，延长BO交PA的延长线于点F．利用切线求得CA=CE，DB=DE，PA=PB再得出PA=PB=r．利用Rt△BFP∽Rt△OAF得出AF=FB，在RT△FBP中，利用勾股定理求出BF，再求tan∠APB的值即可．

试题解析：连接OA、OB、OP，延长BO交PA的延长线于点F．

∵PA，PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E

∴∠OAF=∠PBF=90°，CA=CE，DB=DE，PA=PB，

∵△PCD的周长=PC+CE+DE+PD=PC+AC+PD+DB=PA+PB=3r，

∴PA=PB=r．

在Rt△PBF和Rt△OAF中，

∠FAO=∠FBP

∠OFA=∠PFB，

∴Rt△PBF∽Rt△OAF．

∴

∴AF=FB，

在Rt△FBP中，

∵PF2-PB2=FB2

∴（PA+AF）2-PB2=FB2

∴（r+BF）2-（r）2=BF2，

解得BF=r，

∴tan∠APB=．