Question

直线y= x+2与x轴，y轴分别相交于A、B两点，与反比例函数y= （x＞0）的图象相交于点C（2，3）．点P是反比例函数图象上一点，作PE垂直x轴于E，若以P、O、E为顶点的三角形与△AOB相似，则点P的坐标是________．

Answer

（2 ， ），（ ，2 ）

【解析】

直线y=x+2与x轴，y轴分别相交于A、B两点，求得OA=4，OB=2，由点C（2，3）在函数y=（x＞0）的图象上，求出反比例函数的解析式为：y=（x＞0），设P（a，），求得PE=，OE=a，根据相似三角形的性质列比例式即可得到结论．

【解析】
∵直线y=x+2与x轴，y轴分别相交于A、B两点，
∴A（-4，0），B（0，2），
∴OA=4，OB=2，
∵点C（2，3）在函数y=（x＞0）的图象上，
∴k=6，
∴反比例函数的解析式为：y=（x＞0），
∵点P是反比例函数图象上一点，
∴设P（a，），
∵PE垂直x轴于E，
∴PE=，OE=a，
∵以P、O、E为顶点的三角形与△AOB相似，

∴ 或 ,

∴ ，

解得：a=±2 ，a=±，
∵y=（x＞0），
∴点P在第一象限，
∴P（2，），（，2）．
故答案为：（2，），（，2）．