Question

如图，CD为⊙O的直径，点B在⊙O上，连接BC、BD，过点B的切线AE与CD的延长线交于点A，OE∥BD，交BC于点F，交AE于点E．

（1）求证：△BEF∽△DBC．

（2）若⊙O的半径为3，∠C=30°，求BE的长．

Answer

（1）见解析；（2）BE=3．

【解析】

（1）连接OB，根据切线的性质可得出∠ABO=90°，由OB=OD可得出∠OBD=∠ODB，根据等角的余角相等可得出∠EBF=∠CDB，根据平行线的性质结合直径对的圆周角为90度，即可得出∠EFB=∠CBD=90°，进而即可证出△BEF∽△DCB；

（2）通过解直角三角形可得出BD、BC的长，由三角形中位线定理可得出BF的长，再利用相似三角形的性质即可求出BE的长．

（1）证明：连接OB，如图所示．

∵AE与⊙O相切，

∴∠ABO=90°．

∵OB=OD，

∴∠OBD=∠ODB．

∵∠ABO=∠ABD+∠OBD=90°，

∴∠ODB+∠ABD=90°．

∵CD为直径，

∴∠CBD=90°，

∴∠EBF+∠ABD=90°，

∴∠EBF=∠ODB，即∠EBF=∠CDB．

∵OE∥BD，

∴∠CFO=90°，

∴∠EFB=∠CBD=90°，

∴△BEF∽△DCB．

（2）【解析】
在Rt△BCD中，∠CBD=90°，∠C=30°，CD=6，

∴BD=3，BC=3．

∵OE∥BD，点O为CD的中点，

∴OF为△BCD的中位线，

∴OF=BD=，BF=BC=．

∵△BEF∽△DCB，

∴，即，

∴BE=．