Question

如图，AB是⊙O的直径，AP是⊙O的切线，点A为切点，BP与⊙O交于点C，点D是AP的中点，连结CD．

（1）求证：CD是⊙O的切线；

（2）若AB=2，∠P=30°，求阴影部分的面积．

Answer

（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）连结OC，AC，由圆周角定理和切线的性质得出∠ABP=90°，∠ACP=90°，由直角三角形斜边上的中线性质得出DC=AP=DA，由等腰三角形的性质得出∠DAC=∠DCA，∠OAC=∠OCA，证出∠OCD=90°，即可得出结论；     

（2）由含30°角的直角三角形的性质得出BP=2AB=4，由勾股定理求出AP，再由直角三角形斜边上的中线性质得出CD的长即可．

（1）连结OC，AC，如图所示：

∵AB是⊙O的直径，AP是切线，

∴∠BAP=90°，∠ACP=90°，

∵点D是AP的中点，

∴DC═AP=DA，

∴∠DAC=∠DCA，

又∵OA=OC，

∴∠OAC=∠OCA，

∴∠OCD=∠OCA+∠DCA=∠OAC+∠DAC=90°，

即OC⊥CD，

∴CD是⊙O的切线；

（2）∵在Rt△ABP中，∠P=30°，

∴∠B=60°，

∴∠AOC=120°，

∴OA=1，BP=2AB=4，，

∴=．