Question

如图所示，BD是△ABC的中线，CE⊥BD于点E，AF⊥BD，交BD的延长线于点F.

(1)试探索BE，BF和BD三者之间的数量关系，并加以证明；

(2)连接AE，CF，求证：AE∥CF.

Answer

(1) BE＋BF＝2BD，证明见解析；（2）证明见解析.

【解析】

（1）由已知条件易证△AFD≌△CED，由此可得DE=DF，这样结合BE=BD-DE，BF=BD+DF即可证得BE+BF=2BD；

（2）由（1）中所得△AFD≌△CED可得AD=CD，DE=DF，结合∠ADE=∠CDF即可证得△ADE≌△CDF，由此可得∠EAD=∠FCD，从而可得AE∥CF.

(1)BE＋BF＝2BD，理由如下：

∵BD为△ABC的中线，

∴AD＝CD.

∵CE⊥BD于E，AF⊥BD于F，

∴∠F＝∠CED＝90°.

在△AFD和△CED中，，

∴△AFD≌△CED，

∴DE＝DF.

∵BE＋BF＝(BD－DE)＋(BD＋DF)，

∴BE＋BF＝2BD；

(2)∵△AFD≌△CED，

∴AD＝CD，FD＝ED，

又∵∠ADE＝∠CDF.

∴△ADE≌△CDF，

∴∠EAD＝∠FCD，

∴AE∥CF.