Question

如图，正方形ABCD中，E是BC上的一点，连接AE，过B点作BH⊥AE，垂足为点H，延长BH交CD于点F，连接AF.

（1）求证AE＝BF；

（2）若正方形的边长是5，BE＝2，求AF的长．

Answer

（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）根据正方形的性质得AB＝BC，再根据同角的余角相等得∠BAE＝∠EBH，再利用“角角边”证明△ABE≌△BCF，根据全等三角形的对应边相等得AE＝BF；

（2）根据全等三角形的对应边相等得BE＝CF，再利用勾股定理计算即可得出结论.

(1)∵四边形ABCD是正方形，

∴AB＝BC，∠ABE＝∠BCF＝90°.

∴∠BAE＋∠AEB＝90°.

∵BH⊥AE，∴∠BHE＝90°.

∴∠AEB＋∠EBH＝90°.

∴∠BAE＝∠EBH.

在△ABE和△BCF中，

∴△ABE≌△BCF(ASA)．

∴AE＝BF.

(2)由(1)得△ABE≌△BCF，

∴BE＝CF.

∵正方形的边长是5，BE＝2，

∴DF＝CD－CF＝CD－BE＝5－2＝3.

在Rt△ADF中，由勾股定理得：AF＝＝＝.