Question

（2011•泰安）已知：在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，BC=2AD，E是BC的中点，连接AE、AC．

（1）点F是DC上一点，连接EF，交AC于点O（如图1），求证：△AOE∽△COF；

（2）若点F是DC的中点，连接BD，交AE与点G（如图2），求证：四边形EFDG是菱形．

Answer

（1）证明：∵点E是BC的中点，BC=2AD，

∴EC=BE=BC=AD，

又∵AD∥DC，

∴四边形AECD为平行四边形，

∴AE∥DC，

∴∠AEO=∠CFO，∠EAO=∠FCO，

∴△AOE∽△COF；

（2）证明：连接DE，

∵DE平行且等于BE，

∴四边形ABED是平行四边形，

又∠ABE=90°，

∴□ABED是矩形，

∴GE=GA=GB=GD=BD=AE，

∴E、F分别是BC、CD的中点，

∴EF、GE是△CBD的两条中线，

∴EF=BD=GD，GE=CD=DF，

又GE=GD，

∴EF=GD=GE=DF，

∴四边形EFDG是菱形．

【解析】略