Question

如图1，AB∥CD，点P为定点，E、F分别是AB、CD上的动点．

(1)求证：∠P＝∠BEP＋∠PFD；

(2)若点M为CD上一点，如图2，∠FMN＝∠BEP，且MN交PF于N.试说明∠EPF与∠PNM的数量关系，并证明你的结论；

(3)移动E、F使得∠EPF＝90°，如图3，作∠PEG＝∠BEP，求∠AEG与∠PFD度数的比值．

Answer

（1）详见解析；（2）∠EPF＝∠PNM.（3）2∶1.

【解析】

（1）如图1，过点P作PG∥AB，根据平行线的性质进行证明；

（2）利用（1）中的结果和三角形外角的性质可以推知∠EPF=∠PNM；

（3）利用（1）中的结论得到∠1+∠2=90°，结合已知条件∠PEG=∠BEP，即∠1=∠3得到∠4=180°-2∠1，易求∠AEG与∠PFD度数的数量关系．

【解析】
(1)证明：如答图(1)，过点P作PG∥AB，则∠1＝∠BEP.

又∵AB∥CD，∴PG∥CD，∴∠2＝∠PFD，

∴∠EPF＝∠1＋∠2＝∠BEP＋∠PFD，即∠EPF＝∠BEP＋∠PFD.

(2)∠EPF＝∠PNM.证明如下：

由(1)知，∠EPF＝∠BEP＋∠PFD.

如答图(2)，

∵∠FMN＝∠BEP，

∴∠EPF＝∠FMN＋∠PFD.

又∵∠PNM＝∠FMN＋∠PFD，

∴∠EPF＝∠PNM.

(3)如答图(3)，

∵由(1)知∠1＋∠2＝90°.

∴∠2＝90°－∠1.

又∵∠1＝∠3，

∴∠4＝180°－2∠1＝2∠2，

∴∠4∶∠2＝2∶1.

即∠AEG与∠PFD度数的比值为2∶1.