Question

问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°，求∠APC的度数．

小明的思路是：如图2，过P作PE∥AB，通过平行线性质，可得∠APC＝50°＋60°＝110°.

问题迁移：

(1)如图3，AD∥BC，点P在射线OM上运动，当点P在A、B两点之间运动时，∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β.∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由；

(2)在(1)的条件下，如果点P在A、M两点之间和B、O两点之间上运动时(点P与点A、B、O三点不重合)，请你分别直接写出∠CPD、∠α、∠β之间的数量关系．

,图1)　,图2)

,图3)　,备用图)

Answer

（1）∠CPD＝∠α＋∠β；（2）当点P在A、M两点之间时，∠CPD＝∠β－∠α.

【解析】

（1）过P作PE∥AD交CD于E，推出AD∥PE∥BC，根据平行线的性质得出∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，即可得出答案；

（2）分两种情况：①点P在A、M两点之间，②点P在B、O两点之间，分别画出图形，根据平行线的性质得出∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，即可得出结论．

【解析】
(1)∠CPD＝∠α＋∠β，理由如下：

如图，过P作PE∥AD交CD于E.

∵AD∥BC，

∴AD∥PE∥BC，

∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，

∴∠CPD＝∠DPE＋∠CPE＝∠α＋∠β.

(2)当点P在A、M两点之间时，∠CPD＝∠β－∠α.

理由：如图，过P作PE∥AD交CD于E.

∵AD∥BC，

∴AD∥PE∥BC，

∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，

∴∠CPD＝∠CPE－∠DPE＝∠β－∠α；

当点P在B、O两点之间时，∠CPD＝∠α－∠β.

理由：如图，过P作PE∥AD交CD于E.

∵AD∥BC，

∴AD∥PE∥BC，

∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，

∴∠CPD＝∠DPE－∠CPE＝∠α－∠β.