Question

如图，将△ABC绕点B逆时针旋转α得到△DBE，DE的延长线与AC相交于点F，连接DA、BF，∠ABC=α=60°，BF=AF．

（1）求证：DA∥BC；

（2）猜想线段DF、AF的数量关系，并证明你的猜想．

Answer

（1）证明见解析；（2）猜想：DF=2AF，证明见解析．

【解析】

试题（1）利用等边三角形的判定与性质得出∠DAB=∠ABC，进而得出答案；

（2）首先利用旋转的性质以及全等三角形的判定方法得出△DBG≌△ABF（SAS），进而得出△BGF为等边三角形，求出DF=DG+FG=AF+AF=2AF．

试题解析：（1）由旋转的性质可知：∠DBE=∠ABC=60°，BD=AB，

∴△ABD为等边三角形，

∴∠DAB=60°，

∴∠DAB=∠ABC，

∴DA∥BC；

（2）猜想：DF=2AF，

证明如下：如图，在DF上截取DG=AF，连接BG，

由旋转的性质可知，DB=AB，∠BDG=∠BAF，

在△DBG和△ABF中，

，

∴△DBG≌△ABF（SAS），

∴BG=BF，∠DBG=∠ABF，

∵∠DBG+∠GBE=α=60°，

∴∠GBE+∠ABF=60°，即∠GBF=α=60°，

又∵BG=BF，

∴△BGF为等边三角形，

∴GF=BF，

又∵BF=AF，

∴FG=AF，

∴DF=DG+FG=AF+AF=2AF．