Question

如图，在正方形ABCD中，E，F分别为AD，CD的中点，BF与CE相交于点H，直线EN交CB的延长线于点N，作CM⊥EN于点M，交BF于点G，且CM=CD，有以下结论：①BF⊥CE；②ED=EM；③tan∠ENC=；④S_{四边形DEHF}=4S_△CHF，其中正确结论的个数为（）

A. 1个    B. 2个    C. 3个    D. 4个

Answer

D

【解析】

①正确．由△CDE≌△BCF，推出∠CBF=∠ECD，由∠ECD+∠ECB=90°，推出∠CBF+∠BCE=90°，推出∠BHC=90°，推出BF⊥CE；
②正确．只要证明Rt△CEM≌Rt△CED即可；
③正确．首先证明NE=NC，设NE=CN=x，EM=DE=AE=a，则CM=CD=2a，在Rt△CNM中，可得（x-a）2+（2a）2=x2，推出由计算即可；
④正确．易知△CHF∽△CDE，可得

∵四边形ABCD是正方形，

∴

∵

∴DE=CF,

∴△CDE≌△BCF，

∴∠CBF=∠ECD，

∵

∴

∴

∴BF⊥CE，故①正确，

∵

∴Rt△CEM≌Rt△CED，

∴EM=DE，故②正确，

∴∠CED=∠CEM=∠ECN，

∴NE=NC，设NE=CN=x，EM=DE=AE=a，则CM=CD=2a，

在Rt△CNM中,

解得

tan∠ENC 故③正确，

易知△CHF∽△CDE，

∴

∴S四边形DEHF=4S△CHF，故④正确，

故选:D.