Question

在平行四边形ABCD中，E为边上一点，连结AE并延长交直线DC于F，且CE=CF.

（1）如图1，求证：AF是∠BAD的平分线；

（2）如图2，若∠ABC=90°，点G是线段EF上一点，连接DG、BD、CG，若∠BDG=45°，求证：CG=EF.

Answer

（1）详见解析；（2）详见解析.

【解析】

（1）根据四边形ABCD是平行四边形得出，AB∥DF，BC∥AD，得出∠2=∠F，∠1=∠3，进而求出∠1=∠2即可；
（2）根据∠ABC=90°，G是EF的中点可直接求得．

证明：（1）在平行四边形ABCD中，∠AEB=∠EAD

∵CE=CF,

∴∠CEF=∠CFE

∴∠AEB=∠CFE

∴∠BAF=∠DAF

∴AF是∠BAD的平分线

（2）连接BG，

∵在平行四边形ABCD中，∠ABC=90°，

∴四边形ABCD是矩形，

∵CE=CF，∠BCD=∠ECF=90°，

∴△CEF为直角三角形，

∴∠CEF=45°

∴∠BAE=45°，

∴∠EAB=45°，

∵∠BDG=45°，

∴ABGD四点共圆 （同弦BG）

又四边形ABCD是矩形

∴ABCD四点共圆

即ABGCD五点共圆

∴∠ECG=45°，

∵△CEF为直角三角形，∠ECG=45°，

∴CG是RT△CEF斜边EF上的中线，

∴CG=EF.