Question

已知关于 x 的一元二次方程（x﹣1）（x﹣2）=m（m+1）

（1）试证明：无论 m 取何值此方程总有两个实数根；

（2）若原方程的两根 x₁，x ₂ 满足，求 m 的值．

Answer

（1）证明见解析（2）m=-

【解析】

（1）将原方程整理成一般式，根据方程的系数结合根的判别式，可得出△=（2m+1）2≥0，进而即可证出：无论m取何值此方程总有两个实数根；
（2）根据根与系数的关系可得出x1+x2=3，x1x2=2-m2-m，再结合x12+x22-x1x2=3m2+2，可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出m的值．

（1）证明：原方程整理得：x2-3x+2-m2-m=0，

∵△=（-3）2-4×1×（2-m2-m）=4m2+4m+1=（2m+1）2≥0，

∴无论 m 取何值此方程总有两个实数根；

（2）【解析】
∵x1，x2 是方程（x﹣1）（x﹣2）=m（m+1）的两个实数根，

∴x1+x2=3，x1x2= 2-m2-m．

∵x12+x22-x1x2=3m2+2，即（x1+x2）2-3x1x2=3m2+2，
∴32-3（2-m2-m）=3m2+2，
∴3m+1=0，
∴m=-.