Question

如图，已知⊙O 的直径 AB 垂直弦 CD 于点 E，连接 CO 并延长交 AD于点 F，且 CF⊥AD

（1）求证：点 E 是 OB 的中点；

（2）若 AB=12，求 CD 的长．

Answer

（1）证明见解析（2）6

【解析】

（1）如图，连接AC．想办法证明△ACD是等边三角形，推出∠OCE=30°即可解决问题；
（2）根据垂径定理CD=2EC，求出EC即可解决问题；

（1）证明：如图，连接 AC．

∵AB⊥CD 于点 E，

∴CE=DE，

在△ACE 和△ADE 中，

，

∴△ACE≌△ADE（SAS），

∴AC=AD，

同理：CA=CD，

∴△ACD 是等边三角形，

∴∠OCE=30°，

∴OE= OC

而 OB=OC，

∴OE= OB．

故 E 是 OB 的中点．

（2）【解析】
∵AB=12，

∴OC=6，

∴OE= OC=3，

在 Rt△OCE 中，

CE= = =3，

∴CD=2CE=6 ．