Question

先阅读下面的两则材料，再解答后面的题目．

材料1：若一个整数能表示成a²＋b²(a，b是整数)的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”.理由：因为5＝2²＋1^2，所以5是“完美数”.

材料2：已知x²+y²－2x+4y+5=0，求x+y的值．

    解：由已知得（x²－2x+1）+（y²+4y+4）=0，

    即（x－1）²+（y+2）²=0．

    因为（x－1）²≥0，（y+2）²≥0，它们的和为0，

    所以必有（x－1）²=0，（y+2）²=0，

    所以x=1，y=－2．

    所以x+y=－1．

(1)请你写出两个小于10的“完美数”，并判断29是否为“完美数”．

(2)已知S＝x²＋4y²＋4x－12y＋k(x，y是整数，k是常数)，要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由．

Answer

（1）1和8；29是“完美数”；（2）13.

【解析】

（1）利用“完美数”的定义可得；

（2）利用配方法，将S配成完美数，可求k的值

【解析】
（1）∵1=02+12 ，
∴1是完美数，

∵8=22+22 ，
∴8是完美数，
∵29=52+22 ，
∴29是完美数，

答：小于10的“完美数”有1和8（答案不唯一），29是完美数.

（2）∵S=x2+4y2+4x-12y+k=（x+2）2+（2y-3）2+k-13，
∴当k=13时，S是完美数，