Question

△ABC是等边三角形，点E在AC边上，点D是BC边上的一个动点，以DE为边作等边△DEF，连接CF．

（1）如图1，当点D与点B重合时，求证：△ADE≌△CDF；

（2）如图2，当点D运动到如图2的位置时，猜想CE、CF、CD之间的数量关系，并说明理由；

（3）如图3，当点D在BC延长线上时，直接写出CE、CF、CD之间的数量关系，不证明.

Answer

（1）证明见解析；（2）CE=CD＋CF，证明见解析；（3）CF=CD＋CE.

【解析】

（1）利用等边三角形的性质可得AB=BC,DE=DF，由∠ABC=∠EDF=60°，∠EBC为公共角，得∠ADE=∠CDF，根据SAS得证△ADE≌△CDF.

（2）CE=CF+CD，理由为：过D作DG∥AB，交AC于点G，连接CF，如图，由DG与AB平行，利用两直线平行同位角相等，确定出三角形GDC为等边三角形，再由三角形EDF为等边三角形，利用等边三角形的性质得到两对边相等，再利用等式的性质得到夹角相等，利用SAS得到三角形EGD与三角形FCD全等，利用全等三角形对应边相等得到EG=FC，由EC=EG+GC，等量代换即可得证；
（3）CF=CE+CD，过D作DG∥AB，交AC的延长线于点G，只要证明△EGD≌△FCD即可解决问题；

(1) ∵△ABC和△DEF是等边三角形，

∴AB=BC,DE=DF，

∠ABC=∠EDF=60° ，

∴∠ADE=∠CDF ，

∴△ADE≌△CDF ，

（2）CE=CD＋CF ，理由为：

证明：过D作DG∥AB，交AC于点G，连接CF，

∵DG∥AB，
∴∠CGD=∠CDG=60°，△CDG为等边三角形，
∵△DEF为等边三角形，
∴∠EDF=∠GDC=60°，ED=FD，GD=CD，
∴∠EDF-∠GDF=∠GDC-∠GDF，即∠EDG=∠FDC，
在△EDG和△FDC中，

,
∴△EDG≌△FDC（SAS），
∴EG=FC，
则CE=CG+EG=CG+CF=CF+CD；

(3) CF=CD＋CE .