Question

如图，P是半径为cm的⊙O外一点，PA，PB分别和⊙O切于点A，B，PA=PB=3cm，∠APB=60°，C是弧AB上一点，过C作⊙O的切线交PA，PB于点D，E．

（1）求△PDE的周长；

（2）若DE=cm，求图中阴影部分的面积．

Answer

（1）6cm；

（2）（4﹣π）cm2 ．

【解析】

试题（1）根据切线长定理得PA=PB=3cm，CE=BE，AD=DC，由三角形周长定义得△PDE的周长=PE+DE+PD，然后利用等线段可得△PDE的周长=PA+PB=6cm；

（2）连接OB、OA、OE，OD，如图，根据切线的性质得∠OBP=∠OPA=90°，再根据四边形内角和计算出∠BOA=120°，利用切线长定理得BE=CE，DC=DA，则根据三角形面积公式得到S△OCE=S△OBE，S△OCD=S△ODA，所以S五边AOBED=2S△ODE=4，然后根据扇形面积公式和图中阴影部分的面积=S五边AOBED-S扇形AOB进行计算．

试题解析：（1）∵PA、PB、DE是⊙O的切线，

∴PA=PB=3cm，CE=BE，AD=DC，

∴△PDE的周长=PE+DE+PD=PE+CE+CD+PD

=PE+BE+AD+PD

=PA+PB

=3cm+3cm

=6cm；

（2）连接OB、OA、OE，OD，如图，

∵PA、PB、OC是⊙O的切线，

∴OB⊥PB，OA⊥PA，OC⊥DE，

∴∠OBP=∠OPA=90°，

∵∠APB=60°，

∴∠BOA=120°，

∵BE=CE，DC=DA，

∴S△OCE=S△OBE，S△OCD=S△ODA ，

∴S五边AOBED=2S△ODE=2×××=4，

∴图中阴影部分的面积=S五边AOBED﹣S扇形AOB=4﹣=（4﹣π）cm2．