Question

如图，AB为半圆的直径，O为半圆的圆心，AC是弦，取弧的中点D，过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E．

（1）求证：DE是⊙O的切线；

（2）当AB=10，AC=5时，求CE的长；

（3）连接CD，AB=10．当=时，求DE的长．

Answer

（1）详见解析；（2）CE =；（3）DE =4．

【解析】

（1）连接OD，如图，根据圆周角定理得到∠BAD=∠CAD，再证明OD∥AC，然后利用DE⊥AE得到OD⊥DE，然后根据切线的判定定理得到结论；
（2）作OH⊥AC于H，如图，根据垂径定理得到AH=CH=，易得四边形ODEH为矩形，则OD=HE=AB=5，然后计算HE-HC即可；
（3）根据三角形面积公式，由=得到CE：AE=1：4，设CE=x，则AE=4x，所以AH=CH=x，则HE=x，然后利用HE=OD得x=2，则AH=3，然后根据勾股定理计算出OH，从而得到DE的长．

（1）证明：连接OD，如图，

∵点D为的中点，

∴=，

∴∠BAD=∠CAD，

∵OA=OD，

∴∠OAD=∠ODA，

∴∠ODA=∠DAC，

∴OD∥AC，

∴DE⊥AE，

∴OD⊥DE，

∴DE是⊙O的切线；

（2）【解析】
作OH⊥AC于H，如图，则AH=CH=AC=，

易得四边形ODEH为矩形，

∴OD=HE=AB=5，

∴CE=HE-HC=5-=；

（3）【解析】
∵=，

∴CE：AE=1：4，

设CE=x，则AE=4x，

则AH=CH=x，

∴HE=x+x=x，

∵HE=OD，

∴x=5，解得x=2，

∴AH=3，

在Rt△AOH中，OH==4，

∴DE=OH=4．