Question

如图1，点P是菱形ABCD的对角线BD上的一动点，连接CP并延长交AD于E，交BA的延长线于点F．

（1）求证：△APD≌△CPD；

（2）如图2，当菱形ABCD变为正方形，且PC=2，tan∠PFA=时，求正方形ABCD的边长．

Answer

（1）详见解析；（2）

【解析】

（1）根据菱形的性质得：AD=CD，∠ADP=∠CDP，根据SAS即可证明△APD≌△CPD；

（2）先根据tan∠PFA，设BC=a，则BF=2a，证明△DPC∽△BPF，得，求FC=6，根据勾股定理列方程得：62=a2+（2a）2，可得正方形ABCD的边长．

（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AD=CD，∠ADP=∠CDP．

在△APD和△CPD中，∵，∴△APD≌△CPD（SAS）；

（2）∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=90°，CD=BC．

∵tan∠PFA，设BC=a，则BF=2a．

∵DC=BC=a，DC∥BF，∴∠DCP=∠PFB，∠CDP=∠PBF，∴△DPC∽△BPF，∴．

∵PC=2，∴PF=4，∴FC=PC+PF=6．

在Rt△FCB中，FC2=BC2+FB2，∴62=a2+（2a）2，解得：a或（舍），∴正方形ABCD的边长为．