Question

如图1已知抛物线y=ax²+bx﹣3与x轴相交于A（﹣1，0）、B（3，0），P为抛物线上第四象限上的点．

（1）求该抛物线的函数关系式；

（2）如图1，过点P作PD⊥x轴于点D，PD交BC于点E，当线段PE的长度最大时，求点P的坐标．

（3）如图2，当线段PE的长度最大时，作PF⊥BC于点F，连结DF．在射线PD上有一点Q，满足∠PQB=∠DFB，问在坐标轴上是否存在一点R，使得S_△RBE=S_△QBE？如果存在，直接写出R点的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer

（1）y=x2﹣2x﹣3；（2）当m=时，PE最大，此时P（，﹣）；（3）R的坐标为：（﹣，0）或（，0）或（0，）或（0，﹣）．

【解析】

（1）利用待定系数法求出抛物线解析式；

（2）首先求出点C的坐标，再由待定系数法求得直线BC的解析式是y=x﹣3；设P（m，m2﹣2m﹣3）．过点P作PD⊥x轴于点D，PD交BC于点E，从而E（m，m﹣3），故PE=（m﹣3）﹣（m2﹣2m﹣3）=﹣m2+3m=﹣（m）2，从而求得当m时，PE最大，此时P（）；

（3）首先求得点E的坐标，PE长度，进而得出BD的长度，根据点B、C的坐标判断出△OBC是等腰直角三角形，进而根据勾股定理得到BE的长度，根据对顶角相等推知在直角△PEF中，∠PEF=90°，根据勾股定理得出EF的长度，从而求得BF的长度，然后判断出△QBE∽△FDB，由相似三角形的对应边成比例列出方程，求得QE的长度，根据三角形的面积公式求出S△BQE．当R点在x轴上时，设R（n，0），BR=|3﹣n|，根据S△RBE=S△QBE列出方程求得n的值，得出R点的坐标；当点R在y轴上时，设R（0，z），由S△BER=S△BRC﹣S△REC列出方程求得z的值，再求出R点在y轴上时的坐标，从而得出本题的答案．

（1）将A（﹣1，0）、B（3，0）分别代入y=ax2+bx﹣3得：，解得：，所以该抛物线解析式为y=x2﹣2x﹣3；

（2）如图1，把x=0代入y=x2﹣2x﹣3，得：y=﹣3，∴C（0，﹣3）．

设直线BC的解析式为：y=kx+b，将C（0，﹣3）与B（3，0），分别代入得：，解得：，∴直线BC的解析式为y=x﹣3．

设P（m，m2﹣2m﹣3），则E（m，m﹣3），∴PE=（m﹣3）﹣（m2﹣2m﹣3）=﹣m2+3m=﹣（m）2，故当m时，PE最大，此时P（）；

（3）如图2，当线段PE的长度最大时，P（），E（），PE，∴D（，0），∴BD．

∵B（3，0），C（0，﹣3），∴OB=OC=3，∴△OBC是等腰直角三角形，∴∠OBC=45°．

在直角△DBE中，∠ABC=45°，BD，∴BE，∠DEB=45°，∴∠PEF=45°．

在直角△PEF中，∠PEF=45°，PE，∴EF，∴BF．

∵∠PQB=∠DFB，∠DBE=∠DEB=45°，∴△QBE∽△FDB，∴，即，∴QE．

∵S△BQEQE•DB．

当点R在x轴上时，设R（n，0），BR=|3﹣n|，∴S△RBEBR•DE，即•|3﹣n|•，则|3﹣n|，解得：n1，n2，∴R（，0）或（，0）

当R在y轴上时，设R（0，z），由S△BER=S△BRC﹣S△REC得到：3×|z+3||z+3|

解得：z1，z2，∴R（0，）或（0，）．

综上所述：符合条件的点R的坐标为：（，0）或（，0）或（0，）或（0，）．