Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x²+bx+c的对称轴为直线x=1，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），且AB=4，又P是抛物线上位于第一象限的点，直线AP与y轴交于点D，与对称轴交于点E，设点P的横坐标为t．

（1）求点A的坐标和抛物线的表达式；

（2）当AE：EP=1：2时，求点E的坐标；

（3）记抛物线的顶点为M，与y轴的交点为C，当四边形CDEM是等腰梯形时，求t的值．

Answer

（1）y=x2﹣2x﹣3；（2）E（1，4）；（3）t=4．

【解析】

（1）依据抛物线的对称性可得到A、B的坐标，利用抛物线的交点式可得到抛物线的解析式；

（2）过点P作PF∥y轴，交x轴与点F，则△AEG∽△APF，从而可得到AF=6，然后可求得PF的长，从而可得到EG的长，故此可得到点E的坐标；

（3）先证明∠ADO=∠CME，然后，再求得点C和点M的坐标，从而可得到tan∠ADO=1，于是可得到OD=AO=1，故此可得到AP的解析式，最后求得直线AP与抛物线的交点坐标即可．

（1）∵AB=4，抛物线y=x2+bx+c的对称轴为直线x=1，∴点A到对称轴的距离为2，∴A（﹣1，0），B（3，0），∴y=（x+1）（x﹣3）整理得：y=x2﹣2x﹣3；

（2）如下图所示：过点P作PF⊥x轴，垂足为F．

∵EG∥PF，AE：EP=1：2，∴==．

又∵AG=2，∴AF=6，∴F（5，0）．

当x=5时，y=12，∴EG=4，∴E（1，4）．

（3）∵CD∥EM，∴∠ADO=∠AEM．

又∵四边形CDEM是等腰梯形，∴∠ADO=∠CME，∴∠ADO=∠CME．

∵y=x2﹣2x﹣3，∴C（0，﹣3），M（1，﹣4）

∴tan∠DAO=tan∠CME=1，∴OA=OD=1，∴直线AP的解析式为y=x+1．

把y=x+1代入y=x2﹣2x﹣3得：x+1=x2﹣2x﹣3，解得：x=4或x=﹣1（舍去）

∴点P的横坐标为4，即t=4．