Question

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=5，过点A作AE⊥AB且AB=AE，过点E分别作EF⊥AC，ED⊥BC，分别交AC和BC的延长线与点F、D．

（1）求证：△ABC≌△EAF；

（2）若FC=7，求四边形ABDE的周长．

Answer

(1)见解析；（2）50

【解析】

（1）根据AAS证明△ABC≌△EAF即可；

（2）由全等三角形的性质得出BC=AF，AC=EF，再利用勾股定理得出AB的长，进而得出四边形EFCD是矩形，求出四边形ABDE的周长即可；

（1）证明：∵∠ACB=90°，AE⊥AB，

∴∠1+∠B=∠1+∠2=90°，

∴∠B=∠2，

∵EF⊥AC，

∴∠4=∠5=90°，

∴∠3=∠4，

在△ABC和△EAF中，

，

∴△ABC≌△EAF（AAS）．

（2）【解析】
∵△ABC≌△EAF

∴BC=AF，AC=EF，

∵BC=5，

∴AF=5，

∵FC=7，

∴AC=EF=12，

在Rt△ABC中，AB==13，

∴AE=AB=13，

∵ED⊥BC，

∴∠7=∠6=∠5=90°，

∴四边形EFCD是矩形，

∴CD=EF=12，ED=FC=7，

∴四边形ABDE的周长=AB+BD+DE+EA=13+5+12+7+13=50．