Question

在平面直角坐标系中，我们不妨将横坐标、纵坐标均为整数的点称之为“湘一点”．

（1）求函数y=x-3的图象上所有“湘一点”的坐标；

（2）若直线y=mx+m（m为常数）与直线y=x-2的交点为“湘一点”，试求出整数m的值．

（3）若直线y=-x+b、直线y=3、直线y=x+2所围成的平面图形中（不含边界）共有6个“湘一点”，试求出常数b的取值范围．

Answer

（1）函数y=x-3的图象上“湘一点”的坐标是（0，-3）；（2）m=0或m=2；（3）10＜b≤12或-4≤b＜-2

【解析】

（1）根据题意和湘一点的定义可以解答本题；

（2）将两个一次函数联立方程组，解方程组，再根据整点的条件分析讨论；

（3）画出图形，利用特殊点解决问题即可；

（1）∵x是整数，x≠0时，x是一个无理数，

∴x≠0时，x-3不是整数，

∴x=0，y=-3，

即函数y=x-3的图象上“湘一点”的坐标是（0，-3）；

（2）解，得x=-1-，

∵交点为“湘一点”，且m为整数，

∴m=0或m=2，

（3）如图，当直线y=-x+b经过A（5，7）时，b=12，

当直线y=-x+b经过点B（4，6）时，b=10．

当直线y=-x+b经过点C（-2，0）时，b=-2．

当直线y=-x+b经过点D（-3，-1）时，b=-4．

观察图象可知：直线y=-x+b、直线y=3、直线y=x+2所围成的平面图形中（不含边界）共有6个“湘一点”，常数b的取值范围10＜b≤12或-4≤b＜-2．