Question

如图，直线l₁：y=mx+4m与x轴负半轴、y轴正半轴分别交于A、B两点．

（1）如图（1），当OA=OB时，求直线l₁的解析式；

（2）如图（2），当m取不同的值时，点B在y轴正半轴上运动，分别以OB、AB为腰，点B为直角顶点在第一、二象限作等腰直角△OBF和等腰直角△ABE，连接EF交y轴于点P，试猜想PB的长是否为定值？若是，求出其值；若不是，说明理由．

（3）m取不同的值时，点B在y轴正半轴上运动，以AB为腰，点B为直角顶点在第二象限作等腰直角△ABD，满足条件的动点D在直线l₂上运动，直线l₂与x轴和y轴分别交于F、H两点，若直线l₁将△OHF分成面积比为m：1的两部分，求此时直线l₁和直线l₂的解析式．

Answer

（1）y=x+4；（2）PB的长为定值，理由见解析；（3）直线l1的解析式为：y=x+6-2，直线l2的解析式为：y=-x+4

【解析】

（1）由直线解析式，求出A与B坐标，根据OA=OB，求出m的值，即可确定出直线L解析式；

（2）过点E作EG⊥y轴于G点，先证明△ABO≌△EGB，从而得到BG=4，然后证明△BFP≌△GEP，从而得到BP=GP=BG；

（3）如图③，由A（-4，0），B（0，4m），得到OA=BG=4，DG=OB=4m，得到点D（-4m，4m+4），于是求得直线的解析式为：根据三角形的面积公式列方程即可得到结论．

【解析】
（1）∵直线l1：y=mx+4m与x轴负半轴、y轴正半轴分别交于A、B两点，

∴A（-4，0），B（0，4m），

由OA=OB，得4m=4，m=1，

∴直线解析式为：y=x+4；

（2）PB的长为定值．

理由：如图②所示：过点E作EG⊥y轴于G点．

∵△AEB为等腰直角三角形，

∴AB=EB，∠ABO+∠EBG=90°．

∵EG⊥BG，

∴∠GEB+∠EBG=90°．

∴∠ABO=∠GEB．

在△ABO和△EGB中，，

∴△ABO≌△EGB．（AAS）

∴BG=AO=4，OB=EG

∵△OBF为等腰直角三角形，

∴OB=BF

∴BF=EG．

在△BFP和△GEP中，，

∴△BFP≌△GEP．（AAS）

∴BP=GP=BG=2是定值；

（3）如图③，

∵A（-4，0），B（0，4m），

由（2）证得OA=BG=4，DG=OB=4m，

∴OG=OB+BG=4m+4，

∴点D（-4m，4m+4），

∵动点D在直线y=-x+4上运动，

∴直线l2的解析式为：y=-x+4，

∴F（4.0），H（0，4），

∴S△OHF=×4×4=8，

设直线l1和直线l2的交点为K，

解得，，

∴K（，），

∵直线l1将△OHF分成面积比为m：1的两部分，

∴当S△HBK：S四边形OFKB=m：1时，

S△HBK=（4-4m）•=8×，

解得：m=，m=，

当S△HBK：S四边形OFKB=1：m时，

S△HBK=（4-4m）•=8×，

解得：m=2，m=0，

∵4m＜4，且m≠0，

∴m=，

∴直线l1的解析式为：y=x+6-2．