Question

如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，P是反比例函数图象上任意一点，以P为圆心，PO为半径的圆与x轴交于点 A、与y轴交于点B，连接AB．

（1）求证：P为线段AB的中点；

（2）求△AOB的面积．

Answer

（1）证明见解析；（2）S△AOB=24．

【解析】

试题（1）利用圆周角定理的推论得出AB是⊙P的直径即可；

（2）首先假设点P坐标为（m，n）（m＞0，n＞0），得出OA=2OM=2m，OB=2ON=2n，进而利用三角形面积公式求出即可．

试题解析：（1）证明：∵∠AOB=90°，且∠AOB是⊙P中弦AB所对的圆周角，

∴AB是⊙P的直径．

（2）过点P作PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，

设点P坐标为（m，n）（m＞0，n＞0），

∵点P是反比例函数y＝（x＞0）图象上一点，

∴mn=12．

则OM=m，ON=n．

由垂径定理可知，点M为OA中点，点N为OB中点，

∴OA=2OM=2m，OB=2ON=2n，

∴S△AOB=BO•OA=×2n×2m=2mn=2×12=24．

考点: 反比例函数综合题．