Question

如图，已知A、B两点的坐标分别为（40，0）和（0，30），动点P从点A开始在线段AO上以每秒2个长度单位的速度向原点O运动、动直线EF从x轴开始以每秒1个单位的速度向上平行移动（即EF∥x轴），并且分别与y轴、线段AB交于点E、F，连接EP、FP，设动点P与动直线EF同时出发，运动时间为t秒．

（1）求t=15时，△PEF的面积；

（2）直线EF、点P在运动过程中，是否存在这样的t，使得△PEF的面积等于160（平方单位）？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．

（3）当t为何值时，△EOP与△BOA相似．

Answer

（1）150；（2）不存在这样的t值；（3）t=12或.

【解析】试题（1）由于轴，则

时， 关键是求．易证 从而求出的长度，得出的面积；
（2）假设存在这样的，使得的面积等于160，则根据面积公式列出方程，由根的判别式进行判断，得出结论；
（3）如果与相似，由于 则只能点与点对应，然后分两种情况分别讨论：①点与点对应；②点与点对应．

试题解析：∴∠BEF=∠BOA

又∵∠B=∠B，

∴△BEF∽△BOA，

当 时，

(平方单位).

(2)∵△BEF∽△BOA，

整理，得

∴方程没有实数根.

∴不存在使得△PEF的面积等于160(平方单位)的t值.

(3)当∠EPO=∠BAO时，△EOP∽△BOA,

即

解得，t=12.

当∠EPO=∠ABO时，△EOP∽△AOB,

即

解得，

∴当t=12或时，△EOP∽△BOA