Question

如图，已知AB⊥BC，CD⊥BC，AB=4，CD=2．P为线段BC上的点，设BC=m．

⑴若m=9，

①若△BAP∽△CDP，求线段BP的长；

②若△BAP∽△CPD，求线段BP的长；

⑵试求m为何值时，使得△BAP与△CDP相似的点P有且只有2个．

Answer

（1）①6；②8或1；（2）m=6或4

【解析】

（1）根据相似三角形的性质即可得到结论；

（2）①当△BAP与△CDP都是等腰直角三角形时，两三角形相似，于是得到结果；

②当根据相似三角形的性质和一元二次方程根的判别式即可得到结论．

（1）∵BC=9，∴PC=9﹣BP．

①∵△BAP∽△CDP，∴，即，解得：BP=6；

②∵△BAP∽△CPD，∴，即，解得：BP=8或1；

（2）①当△BAP与△CDP都是等腰直角三角形时，两三角形相似，此时∠BPA=∠CPD=45°，则BP+PC=BC=AB+CD=6；

②当∠BAP=∠CPD时，△BAP∽△CPD，∴，即，∴BP2﹣mBP+8=0，∴△=m2﹣32=0，∴m=±4（负值舍去），∴m=4．

综上所述：当m=6或4时，△BAP与△CDP相似的点P有且只有2个．