Question

已知抛物线y=ax²+bx+c经过A（0，2），B（2，﹣2）两点．

⑴用含a的式子表示b．

⑵当a=﹣时，y=ax²+bx+c的函数值为正整数，求满足条件的x值．

⑶若a＞0，线段AB下方的抛物线上有一点E，求证：不管a取何值，当△EAB的面积最大时，E点的横坐标为定值．

Answer

（1）b=﹣2a﹣2；（2）x=﹣2或x=0或x=－1+或x=－1－；（3）证明见解析

【解析】

（1）利用待定系数法建立方程组求解即可得出结论；

（2）先求出抛物线解析式，配方得：y=，由y是正整数，得出（x+1）2=1或（x+1）2=3，解方程即可得出结论；

（3）根据三角形的面积的计算方法建立函数关系式，即可得出结论．

（1）∵抛物线y=ax2+bx+c经过A（0，2），B（2，﹣2），∴，∴，即：b=﹣2a﹣2；

（2）由（1）知，c=2，b=﹣2a﹣2．

∵a，∴b=﹣1，∴抛物线解析式为yx2﹣x+2（x+1）2=．

∵y=ax2+bx+c的函数值为正整数，即为正整数，∴（x+1）2=1或（x+1）2=3，解得：x=﹣2或x=0或x=－1+或x=－1－；

（3）由（1）知，c=2，b=﹣2a﹣2，∴抛物线的解析式为y=ax2﹣（2a+2）x+2．

∵A（0，2），B（2，﹣2），∴直线AB的解析式为y=﹣2x+2．

∵点E在线段AB下方的抛物线上，设点E（m，am2﹣（2a+2）m+2），过点E作y轴的平行线，交AB于F，∴F（m，﹣2m﹣2），∴EF=﹣2m﹣2﹣[am2﹣（2a+2）m+2]=﹣a（m﹣1）2+a，∴S△EABEF×|xB﹣xA|=EF=﹣a（m﹣1）2+a．

∵a＞0，∴﹣a＜0，∴m=1时，△EAB面积最大，即：不管a取大于0的何值，当△EAB的面积最大时，E点的横坐标为定值，定值为1．