Question

如图，已知点C、D在线段AB上，且AC=4，BD=9，△PCD是边长为6的等边三角形．

(1)求证：△PAC∽△BPD；

(2)求∠APB的度数．

Answer

（1）见解析；（2）120°．

【解析】

试题（1）根据等边三角形的性质得到PC=CD=PD=6，∠PCD=∠PDC=60°，得出∠ACP=∠PDB=120°，由AC=4，BD=9，AC：PD=PC：BD，即可证出△ACP∽△PDB；

（2）由相似三角形的对应角相等，得出∠APC=∠PBD，由三角形内角和定理得出∠DPB+∠DBP=60°，即∠APC+∠BPD=60°，可求出∠APB=120°．

试题解析：（1）∵等边△PCD的边长为6，

 ∴PC=PD=6，∠PCD=∠PDC=60°，

又∵AC=4，BD=9，

∴ ，

∵等边△PCD中，∠PCD=∠PDC=60°，

∴∠PCA=∠PDB=120°，

∴△ACP∽△PDB；

（2）∵△ACP∽△PDB，

∴∠APC=∠PBD，   

∵∠PDB=120°，

∴∠DPB+∠DBP=60°， 

∴∠APC+∠BPD=60°，

∴∠APB=∠CPD+∠APC+∠BPD=120°．