Question

如图所示，⊙O的直径AB＝10cm，弦AC＝6cm，∠ACB的平分线交⊙O于点D，

（1）求证：△ABD是等腰三角形；

（2）求CD的长．

Answer

（1）详见解析；（2）CD=7．

【解析】

（1）连接OD，根据角平分线的定义得到∠ACD=∠BCD，根据圆周角定理，等腰三角形的定义证明即可；

（2）作AE⊥CD于E，根据等腰直角三角形的性质求出AD，根据勾股定理求出AE、CE，DE，结合图形计算，即可得到答案．

（1）连接OD．

∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°．

∵CD是∠ACB的平分线，∴∠ACD=∠BCD=45°，由圆周角定理得：∠AOD=2∠ACD=90°，∠BOD=2∠BCD=90°，∴∠AOD=∠BOD=90°，∴DA=DB，即△ABD是等腰三角形；

（2）作AE⊥CD于E．

∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴ADAB=5．

∵AE⊥CD，∠ACE=45°，∴AE=CE=AC=3．在Rt△AED中，DE，∴CD=CE+DE=3．