Question

如图1，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，O是AB的中点，AC=6，∠MON=90°，将∠MON绕点O旋转，OM、ON分别交边AC于点D，交边BC于点E（D、E不与A、B、C重合）

（1）判断△ODE的形状，并说明理由；

（2）在旋转过程中，四边形CDOE的面积是否发生变化？若不改变，直接写出这个值，若改变，请说明理由；

（3）如图2，DE的中点为G，CG的延长线交AB于F，请直接写出四边形CDFE的面积S的取值范围．

Answer

（1）△ODE是等腰直角三角形，理由详见解析；（2）在旋转过程中，四边形CDOE的面积不发生变化，面积为9；（3）0＜S≤9．

【解析】

（1）连接OC，根据等腰三角形的性质得到OC⊥AB，OC平分∠ACB，求得∠AOD=∠COE，根据全等三角形的性质即可得到结论；

（2）根据全等三角形的性质得到四边形CDOE的面积=△AOC的面积，根据三角形的面积公式即可得到结论；

（3）当四边形CDFE是正方形时，其面积最大，根据正方形的面积公式即可得到结论．

（1）△ODE是等腰直角三角形，理由如下：

连接OC．在等腰Rt△ABC中，∵O是AB的中点，∴OC⊥AB，OC平分∠ACB，∴∠OCE=45°，OC=OA=OB，∠COA=90°．

∵∠DOE=90°，∴∠AOD=∠COE．在△AOD与△COE中，∵，∴△AOD≌△COE，（ASA），∴OD=OE，∴△ODE是等腰直角三角形；

（2）在旋转过程中，四边形CDOE的面积不发生变化．

∵△AOD≌△COE，∴四边形CDOE的面积=△AOC的面积．

∵AC=6，∴AB=6，∴AO=OCAB=3，∴四边形CDOE的面积=△AOC的面积9；

（3）当四边形CDFE是正方形时，其面积最大，四边形CDFE面积的最大值=9，故四边形CDFE的面积S的取值范围为：0＜S≤9．