Question

如图①，Rt△ABC中，∠B=90°∠CAB=30°，AC⊥x轴．它的顶点A的坐标为（10，0），顶点B的坐标为（5，5），点P从点A出发，沿A→B→C的方向匀速运动，同时点Q从点D（0，2）出发，沿y轴正方向以相同速度运动，当点P到达点C时，两点同时停止运动，设运动的时间为t秒．

(1)求∠BAO的度数．（直接写出结果）

(2)当点P在AB上运动时，△OPQ的面积S与时间t（秒）之间的函数图象为抛物线的一部分（如图②），求点P的运动速度．

(3)求题(2)中面积S与时间t之间的函数关系式，及面积S取最大值时，点P的坐标．

(4)如果点P，Q保持题(2)中的速度不变，当t取何值时，PO=PQ，请说明理由．

Answer

(1)∠BAO=60°； (2)点P的运动速度为2个单位/秒；(3)P（，）；(4)t=时，PO=PQ．

【解析】

（1）利用∠BAO的正切值，求出∠BAO的度数即可；
（2）利用图②中的函数图象，求得点P的运动时间与路程解决即可；
（3）利用特殊角的三角函数，三角形的面积以及配方法解决问题；
（4）分两种情况进行列方程解决问题．

(1)如图，

过点B作BE⊥OA于E，则OE=5，BE=5，OA=10，

∴AE=5，Rt△ABE中，tan∠BAO=，

∴∠BAO=60°；

(2)由图形可知，当点P运动了5秒时，它到达点B，此时AB=10，因此点P的运动速度为10÷5=2个单位/秒，

点P的运动速度为2个单位/秒；

(3)P（10﹣t， t）（0≤t≤5），

∵S=（2t+2）（10﹣t），

=﹣（t﹣）2+ ，

∴当t=时，S有最大值为，

此时P();

(4)当P在AB上时，根据P点纵坐标得出：

，

解得：t= ，

当P在BC上时， ，

此方程无解，故t不存在，

综上所知当t=时，PO=PQ．