Question

在如图所示的平面直角坐标系中，△OA₁B₁是边长为2的等边三角形，作△B₂A₂B₁与△OA₁B₁关于点B₁成中心对称，再作△B₂A₃B₃与△B₂A₂B₁关于点B₂成中心对称，如此作下去，则△B₂₀A₂₁B₂₁的顶点A₂₁的坐标是_____．

Answer

（41，）

【解析】

首先根据△OA1B1是边长为2的等边三角形，可得A1的坐标为（1，），B1的坐标为（2，0）；然后根据中心对称的性质，分别求出点A2、A3、A4的坐标各是多少；最后总结出An的坐标的规律，求出A2n+1的坐标是多少即可解决问题．

∵△OA1B1是边长为2的等边三角形，

∴A1的坐标为（1，），B1的坐标为（2，0），

∵△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称，

∴点A2与点A1关于点B1成中心对称，

∵2×2-1=3，2×0-=-，

∴点A2的坐标是（3，-），

∵△B2A3B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称，

∴点A3与点A2关于点B2成中心对称，

∵2×4-3=5，2×0-（-）=，

∴点A3的坐标是（5，），

∵△B3A4B4与△B3A3B2关于点B3成中心对称，

∴点A4与点A3关于点B3成中心对称，

∵2×6-5=7，2×0-=-，

∴点A4的坐标是（7，-），

…，

∵1=2×1-1，3=2×2-1，5=2×3-1，7=2×3-1，…，

∴An的横坐标是2n-1，A2n+1的横坐标是2（2n+1）-1=4n+1，

∵当n为奇数时，An的纵坐标是，当n为偶数时，An的纵坐标是-，

∴顶点A2n+1的纵坐标是，

∴△B2nA2n+1B2n+1（n是正整数）的顶点A2n+1的坐标是（4n+1，），

∴△B20A21B21的顶点A21的坐标（41，）．