Question

已知，如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，OF⊥BC于点F，交⊙O于点E，AE与BC交于点H，点D为OE的延长线上一点，且∠ODB=∠AEC．

（1）求证：BD是⊙O的切线；

（2）求证：CE²=EH•EA；

（3）若⊙O的半径为，sinA=，求BH的长．

Answer

（1）证明见解析；（2）见解析；（3）

【解析】（1）由圆周角定理和已知条件证出∠ODB=∠ABC，再证出∠ABC+∠DBF=90°，即∠OBD=90°，即可得出BD是⊙O的切线；

（2）连接AC，由垂径定理得出，得出∠CAE=∠ECB，再由公共角∠CEA=∠HEC，证明△CEH∽△AEC，得出对应边成比例，即可得出结论；

（3）连接BE，由圆周角定理得出∠AEB=90°，由三角函数求出BE，再根据勾股定理求出EA，得出BE=CE=6，由（2）的结论求出EH，然后根据勾股定理求出BH即可．

（1）如图，

∵∠ODB=∠AEC，∠AEC=∠ABC，

∴∠ODB=∠ABC，

∵OF⊥BC，

∴∠BFD=90°，

∴∠ODB+∠DBF=90°，

∴∠ABC+∠DBF=90°，

即∠OBD=90°，

∴BD⊥OB，

∴BD是⊙O的切线；

（2）连接AC，如图2所示：

∵OF⊥BC，

∴，

∴∠CAE=∠ECB，

∵∠CEA=∠HEC，

∴△CEH∽△AEC，

∴，

∴CE2=EH•EA；

（3）连接BE，如图3所示：

∵AB是⊙O的直径，

∴∠AEB=90°，

∵⊙O的半径为，sin∠BAE=，

∴AB=5，BE=AB•sin∠BAE=5×=3，

∴EA==4，

∵，

∴BE=CE=3，

∵CE2=EH•EA，

∴EH=，

∴在Rt△BEH中，BH=.