Question

某工厂有甲种原料360kg，乙种原料290kg，计划用这两种原料生产A、B两种产品共50件，已知生产一件A种产品，需用甲种原料9kg，乙种原料3kg，可获利润700元；生产一件B种产品，需用甲种原料4kg，乙种原料10kg，可获利润1200元．

按要求安排A、B两种产品的生产件数，有哪几种方案？请你设计出来；

设生产A、B两种产品总利润是元，采用哪种生产方案获总利润最大？最大利润为多少？

Answer

（1）有三种方案：安排A种产品30件，B种产品20件； 安排A种产品31件，B种产品19件； 安排A种产品32件，B种产品18件；（2）采用方案所获利润最大，为45000元．

【解析】（1）设安排生产A种产品x件，则生产B种产品件，根据关系式：A种产品需要甲种原料数量+B种产品需要甲种原料数量≤360；A种产品需要乙种原料数量+B种产品需要乙种原料数量≤290，列出关于x的不等式组，解不等式组得到得到关于x的范围，根据整数解可得相应方案；

（2）总获利=700×A种产品数量+1200×B种产品数量，根据函数的增减性和（1）得到的取值可得最大利润．

设安排生产A种产品x件，则生产B种产品件，

根据题意有：，

解得：，

为整数，

，

所以有三种方案：安排A种产品30件，B种产品20件；

安排A种产品31件，B种产品19件；

安排A种产品32件，B种产品18件．

设安排生产A种产品x件，

那么利润为：，

随x的增大而减小，

当时，对应方案的利润最大，

，最大利润为45000元，

采用方案所获利润最大，为45000元．