Question

在平面直角坐标系中，点 A（﹣2，0），B（2，0），C（0，2），点 D，点E分别是 AC，BC的中点，将△CDE绕点C逆时针旋转得到△CD′E′，及旋转角为α，连接 AD′，BE′．

（1）如图①，若 0°＜α＜90°，当 AD′∥CE′时，求α的大小；

（2）如图②，若 90°＜α＜180°，当点 D′落在线段 BE′上时，求 sin∠CBE′的值；

（3）若直线AD′与直线BE′相交于点P，求点P的横坐标m的取值范围（直接写出结果即可）．

Answer

（1）60°；（2）；（3）﹣≤m≤．

【解析】试题(1)如图1中，根据平行线的性质可得∠AD′C=∠E′CD′=90°，再根据AC=2CD′，推出∠CAD′=30°，由此即可解决问题； (2)如图2中，作CK⊥BE′于K．根据勾股定理和等腰直角三角形的性质求出CK的长，再根据sin∠CBE′= ，即可解决问题；(3)根据图3、图4分别求出点P横坐标的最大值以及最小值即可解决问题.

试题解析：

（1）如图1中，

∵AD′∥CE′，

∴∠AD′C=∠E′CD′=90°，

∵AC=2CD′，

∴∠CAD′=30°，

∴∠ACD′=90°﹣∠CAD′=60°，

∴α=60°．

（2）如图2中，作CK⊥BE′于K．

∵AC=BC= =2 ，

∴CD′=CE′= ，

∵△CD′E′是等腰直角三角形，CD′=CE′= ，

∴D′E′=2，

∵CK⊥D′E′，

∴KD′=E′K，

∴CK= D′E′=1，

∴sin∠CBE′= = = ．

（3）如图3中，以C为圆心为半径作⊙C，当BE′与⊙C相切时AP最长，则四边形CD′PE′是正方形，作PH⊥AB于H．

∵AP=AD′+PD′= + ，

∵cos∠PAB= = ，

∴AH=2+ ，

∴点P横坐标的最大值为．

如图4中，当BE′与⊙C相切时AP最短，则四边形CD′PE′是正方形，作PH⊥AB于H．

根据对称性可知OH= ，

∴点P横坐标的最小值为﹣，

∴点P横坐标的取值范围为﹣≤m≤．