Question

已知：如图， 是边长为3cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动，它们的速度都是，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动，设点P的运动时间，解答下列各问题：

经过秒时，求的面积；

当t为何值时， 是直角三角形？

是否存在某一时刻t，使四边形APQC的面积是面积的三分之二？如果存在，求出t的值；不存在请说明理由．

Answer

（1）；（2）当秒或秒时， 是直角三角形（3）无论t取何值，四边形APQC的面积都不可能是面积的．  

【解析】试题（1）根据路程=速度×时间，求出BQ，AP的值，再求出BP的值，然后利用三角形的面积公式进行解答即可；

（2）①∠BPQ=90°；②∠BQP=90°．然后在直角三角形BQP中根据BP，BQ的表达式和∠B的度数进行求解即可；

（3）本题可先用△ABC的面积-△PBQ的面积表示出四边形APQC的面积，即可得出y，t的函数关系式，然后另y等于三角形ABC面积的三分之二，可得出一个关于t的方程，如果方程无解则说明不存在这样的t值，如果方程有解，那么求出的t值即可.

试题解析： 经过秒时， ，

是边长为3cm的等边三角形，

，

，

的面积；

设经过t秒是直角三角形，

则，

中， ，

，

中， ，若是直角三角形，则或，

当时， ，

即秒，

当时， ，

秒，

答：当秒或秒时， 是直角三角形．

过P作于M，

中， ，

，

，

，

与t的关系式为，

假设存在某一时刻t，使得四边形APQC的面积是面积的，

则，

，

，

，

方程无解，

无论t取何值，四边形APQC的面积都不可能是面积的.