Question

如图，的内切圆与各边分别相切于点，，，那么下列叙述错误的是（ ）

A. 点是的三条角平分线的交点    B. 点是的三条中线的交点

C. 点是的三条边的垂直平分线的交点    D. 一定是锐角三角形

Answer

B

【解析】

根据切线的性质得到OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，根据同圆的半径相等得到OD=OE=OF，于是得到点O是△ABC的三条角平分线的交点，根据外接圆的圆心的性质得到点O是△DEF的三条边的垂直平分线的交点，根据四边形的内角和和圆周角定理得到DEF是锐角三角形．

连接OD，OE，OF，

∵△ABC的内切圆O与各边分别相切于点D，E，F，

∴OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，

∵OD=OE=OF，

∴点O是△ABC的三条角平分线的交点，

∵⊙O是△DEF的外接圆，

∴点O是△DEF的三条边的垂直平分线的交点，

∵∠ADO=∠AFO=90°，

∴∠A+∠DOF=180°，

∴∠DOF=180°-∠A，

∴∠DEF=∠DOF=90°-∠A，

∴∠DEF是锐角，同理∠EDF与∠DFE是锐角，

∴△DEF是锐角三角形，

故选B．