Question

如图，是以为直径的上的一点，于点，过点作的切线，与的延长线相交于点，点是的中点，连结交于点

（1）求证：是的切线；

（2）求证：；

（3）若，且的半径长为，求．

Answer

（1）证明见解析（2）证明见解析（3）

【解析】

（1）要证AF是⊙O的切线，就是要证明∠FAO=90°，连接AB，根据BE是⊙O的切线和直角三角形的等量代换，就可得出结论；

（2）根据切线判定知道EB⊥BC，而AD⊥BC，从而可以确定AD∥BE，那么△BFC∽△DGC，又点F是EB的中点，就可得出结论；

（3）点F作FH⊥AD于点H，根据前两问的结论，利用三角形的相似性和勾股定理，可以求出BD的长度．

（1）证明：连结，

∵是的直径，

∴．

∵是斜边的中点，

∴，

∴，

 又∵，

∴

∵是的切线，

∴

∵

∴是的切线；

（2）证明：∵是的直径，是的切线，

∴．

又∵，

∴，

∴，，

∴，，

∴，

∵是斜边的中点，

∴，

∴；

（3）【解析】
过点作于点，

∵，，

∴．

由（2），知，

∴．

由已知，有，

∴，即是等腰三角形．

∵，

∴，

∵，

∴，

即，

∵，，，

∴四边形是矩形，，

∵，易证，

∴，

即．

∵的半径长为，

∴．

∴，

解得．

∴．