Question

如图，在正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB，DC（或它们的延长线）于点M、N．AH⊥MN于点H．

（1）当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时，请你直接写出线段AH与AB的数量关系______．（不需证明）

（2）当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时，问（1）中线段AH与AB的数量关系还成立吗？若成立，给出证明，若不成立，说明理由．

Answer

（1）AH=AB （或相等）;（2）成立.

【解析】

（1）由三角形全等可以证明AH=AB；

（2）延长CB至E，使BE=DN，证明△AEM≌△ANM，能得到AH=AB．

（1）如图①AH=AB．证明如下：

∵ABCD是正方形，∴AB=AD，∠D=∠B=90°．

在Rt△ABM和Rt△ADN中，∵，∴Rt△ABM≌Rt△ADN，∴AM=AN，∠BAM=∠DAN．

∵AH⊥MN，∴∠NAH=∠MAH．

∵∠MAN=45°，∴∠NAH=∠MAH=22.5°，∠BAM+∠DAN=45°，∴∠BAM=∠DAN=22.5°，∴∠BAM=∠HAM．

在△BAM和△HAM中，∵∠BAM=∠HAM，∠B=∠AHM=90°，AM=AM，∴△BAM≌△HAM，∴AB=AH．

（2）数量关系成立．如图②，延长CB至E，使BE=DN．

∵ABCD是正方形，∴AB=AD，∠D=∠ABE=90°．

在Rt△AEB和Rt△AND中，∵，∴Rt△AEB≌Rt△AND，∴AE=AN，∠EAB=∠NAD．

∵∠DAN+∠BAM=45°，∴∠EAB+∠BAM=45°，∴∠EAN=45°，∴∠EAM=∠NAM=45°．

在△AEM和△ANM中，∵，∴△AEM≌△ANM，∴S△AEM=S△ANM，EM=MN．

∵AB、AH是△AEM和△ANM对应边上的高，∴AB=AH．