Question

如图，已知直角梯形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，OA=AB=2，OC=3，过点B作BD⊥BC，交OA于点D．将∠DBC绕点B按顺时针方向旋转，角的两边分别交y轴的正半轴、x轴的正半轴于E和F．

（1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；

（2）当BE经过（1）中抛物线的顶点时，求CF的长；

（3）连接EF，设△BEF与△BFC的面积之差为S，问：当CF为何值时S最小，并求出这个最小值．

Answer

（1）y=﹣+x+2；（2）；（3）当a=2（在0＜a＜3范围内）时，S最小值=．

【解析】

（1）由题意得A（0，2）、B（2，2）、C（3，0）．

设经过A，B，C三点的抛物线的解析式为y=ax2+bx+2．

则，

解得，

∴．

（2）由=．

∴顶点坐标为G（1，）．

过G作GH⊥AB，垂足为H．

则AH=BH=1，GH=﹣2=．

∵EA⊥AB，GH⊥AB，

∴EA∥GH．

∴GH是△BEA的中位线．

∴EA=2GH=．

过B作BM⊥OC，垂足为M．则MB=OA=AB．

∵∠EBF=∠ABM=90°，

∴∠EBA=∠FBM=90°﹣∠ABF．

∴Rt△EBA≌Rt△FBM．

∴FM=EA=．

∵CM=OC﹣OM=3﹣2=1，

∴CF=FM+CM=．

3）设CF=a，则FM=a-1或1- a，

∴BF2=FM2+BM2=(a-1)2+22=a2-2a+5 .

∵△EBA≌△FBM，∴BE=BF.

则，

又∵，

∴，即，

∴当a=2（在0